PROBLEME

Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré.

La figure ci-dessous est donnée à titre d'exemple pour préciser la disposition des points. Ce n'est pas une figure en vraie grandeur.

ABC est un triangle tel que AC = 20 cm, BC = 16 cm et AB = 12 cm.
F est un point du segment [BC]. La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E.
On a représenté sur la figure le segment [EB].

Première partie

  1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
  2. Calculer l'aire du triangle ABC.
  3. Démontrer, en s'aidant de la question 1, que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

Deuxième partie

On se place dans le cas où CF = 4 cm.

  1. Démontrer que EF = 3 cm.
  2. Calculer l'aire du triangle EBC.

Troisième partie

On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C. Dans cette partie, on pose CF = x, x étant un nombre tel que : 0< x < 16.

  1. Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à 3/4 x.
  2. Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est égale à 6x.
  3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est-elle égale à 33 ?
  4. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB. Pour quelle valeur exacte de x l'aire du triangle EAB est-elle égale au double de I'aire du triangle EBC ?

Exercice Brevet - 2000 - Métropole (Aix) - 3 - corrigé